Numéro
J. Phys. Radium
Volume 20, Numéro 1, janvier 1959
Page(s) 43 - 50
DOI https://doi.org/10.1051/jphysrad:0195900200104300
J. Phys. Radium 20, 43-50 (1959)
DOI: 10.1051/jphysrad:0195900200104300

Dans quelle mesure la mécanique classique peut-elle prédire les trajectoires?

Max Born


Abstract
In view of the uncertainties concerning the initial conditions, due to inevitable experimental imprecision, the predictions of classical mechanics never describe a unique trajectory but rather a group of trajectories defined by a probability distribution. The true task of mechanics is to predict the evolution of this distribution with time. It is shown that for all cases, except for the harmonic oscillator, this distribution flattens out. In the case of periodic and quasi-periodic systems, any predictions concerning the configuration of the system considered become impossible beyond a critical value of the time. This critical value is easy to calculate as a function of the initial uncertainty. If the state of the system is described by angular variables φ and their conjugated action variables J, then, after a certain time a stationary limiting state is reached for which the J's are nearly exactly determined whilst the φ's are totally in determined This corresponds to the stationary state of the Bohr quantum theory, but here the J's may take any values and not necessarily integral values of h. These considerations do not affect the fundamental differences between classical and quantum mechanics. Their intention is solely to show that the idea of determination in classical mechanics is based on a hypothesis which is void of meaning and that the absence of determination in quantum mechanics cannot serve as an objection to this theory.


Résumé
Étant donnée l'incertitude sur les conditions initiales - due à l'imprécision inévitable des mesures - les prévisions de la mécanique classique ne se rapportent jamais à une trajectoire précise, mais à un ensemble de trajectoires donné par une distribution de probabilités. La tâche réelle de la mécanique est de prédire l'évolution de cette distribution au cours du temps. On montre que, dans tous les cas, sauf celui des oscillateurs harmoniques, cette distribution s'étale et que la prévisibilité s'estompe. Dans le cas des mouvements périodiques et quasi-périodiques, toute prédiction sur la configuration du système considéré devient impossible à partir d'un temps critique calculable en fonction des conditions initiales. Si l'on décrit l'état de ce système par des variables angulaires φ et leurs variables conjuguées d'action J, on atteint au bout d'un temps assez long un état-limite où les J sont presque rigoureusement determinés tandis que les φ restent totalement indéterminés. Ceci correspond à l'état stationnaire de la théorie quantique de Bohr, mais ici les J ne sont pas nécessairement multiples entiers de h. Ces considérations ne doivent nullement effacer la différence fondamentale entre mécaniques classique et quantique ; leur but unique est de montrer que l'idée de détermination en mécanique classique repose sur une hypothèse dénuée de sens et que l'absence de détermination en mécanique quantique ne peut servir d'objection à cette théorie.

PACS
4510 - Computational methods in classical mechanics.

Key words
dynamics -- indeterminancy -- physics fundamentals