Chaleur. Équation balistique de la chaleur suivant les lignes de flux dans le cas de lignes de flux stables. Vers une équation impulsionnelle universelle

Abstract
We consider the flow of heat when it passes through flux tubes of any geometrically stable form (even the quantity of heat though flux may be variable, and consequently the temperature). We suppose besides that conductivity and thermal capacity are invariable. In this case, the general solution of the heat equation for one determined tube can always be expressed by a sum of products of a " Up" function of the abscissa (run over length of the tube) by an exponential of the time. The universal equation is given in order to determine the " Up". It is an equation of the Sturm-Liouville kind which comprises as independant variable the abscissa ; as auxiliary functions the section of the flux tube (arbitrary function of the abscissa) and its derivative ; and as parameter the proper value of each " Up" fixed by the boundary conditions. The coefficients of the terms of the sum are classical. The exponential of the time is entirely determined by the proper values of " Up". It is then possible to calculate the effects of a thermal pulse localised in space and in time. By integrating, we reach an universal equation of the heat for each of the cases surveyed. The classical equations (Fourier, Bessel... and so on) are only particular cases. We go to an hyperspace, or to a curved space of n dimensions, by means of simple recurrence laws. The elementary pulse itself is expressed by the sum of " Up" functions whose coefficients do not necessitate any integration. Apart from the problem of heat, the interest of this method resides in the fact that it allows the solution of all similar problems of diffusion and that it can be used in all the equations of wave mechanics which are " U " functions.

Résumé
On considère l'écoulement de la chaleur quand il se fait par des tubes de flux de forme quelconque géométriquement stable (bien que la quantité de chaleur qui passe et donc la température puisse être variable). On suppose la conductivité et la capacité thermique constantes. Dans ce cas la solution générale de l'équation de la chaleur pour un tube déterminé, peut toujours s'exprimer par une somme de produit d'une fonction Up de l'abscisse (longueur de tube parcourue) par une exponentielle du temps. On donne l'équation universelle pour déterminer les Up. C'est une équation de la famille Sturm-Liouville qui comprend comme variable indépendante l'abscisse, comme fonctions auxiliaires la section du tube de flux (fonction arbitraire de l'abscisse) et sa dérivée, et comme paramètre la valeur propre de chaque Up fixée par les conditions aux limites. Les coefficients des termes de la somme sont classiques. L'exponentielle du temps est entièrement déterminée par les valeurs propres de Up. On peut alors calculer les effets d'une impulsion thermique localisée dans l'espace et dans le temps. Par intégration on arrive à une équation universelle de la chaleur pour les cas considérés. Les équations classiques (Série de Fourier, de Bessel, etc...) n'en sont que des cas particuliers. On passe à un hyperspace et à un espace courbe à n dimensions par des lois de récurrence simples. Quant à l'impulsion élémentaire elle-même, elle s'exprime par une somme de fonctions Up dont les coefficients ne nécessitent pas d'intégration. , En dehors de l'équation de la chaleur, l'intérêt de ces solutions réside en ce qu'elle permet de résoudre tous les problèmes analogues de la diffusion et qu'elle peut être utilisée dans les équations d'onde de la mécanique ondulatoire, qui sont des fonctions U.