Groupes finis de symétrie et recherche de solutions de l'équation de Schrodinger

Abstract
The determination of energy levels of valence and conduction bands of a crystal is a problem not accurately resolved ; one has to use approximation methods in order to find solutions of the Schrodinger equation applied to an electron of the crystal. The methods hitherto proposed depend on a variational principle ; they all lead to the resolution of a secular eqution of high degree if sufficient precision is wanted. Several chief points can be stated : a) How to détermine the potential of the crystal. b) What trial functions will be chosen to express the variational principle. c) How to resolve numerically a determinant whose degree may reach one hundred. Only b) and c) are studied and the followïng plan is adopted : In the first chapter, the mathematical properties of the necessary finite groups are stated. In the 2nd chapter, the quantum problem is not directly studied for it seemed interesting to deal classically with the small molecular vibrations. This study leads to the resolution of a secular equation which factorizes if one considers the symmetry group associated with the molecule. The properties thus stated can be very simply expressed in quantum mechanics. The 3rd chapter gives the basic principles on which the variational method depends in quantum mechanics. The 4th chapter attempts to détermine the energy bands of a crystal and demonstrates the approximation method called method of orthogonalized plane waves (OPW), whose convergence is satisfactory. Thé 5th and last chapter shows how considerations of symmetry enable one, as in chapter 2, to resolve the secular equation to which the OPW method finally leads.

Résumé
La recherche des niveaux énergétiques des bandes de valence et de conduction d'un cristal est un problème non résolu en toute rigueur, il faut utiliser des méthodes d'approximation pour trouver les solutions de l'équation de Schrôdinger appliquée à un électron du cristal. - Les méthodes proposées jusqu'ici reposent sur un principe variationnel ; elles conduisent toutes à_ la résolution d'une équation séculaire de degré élevé si l'on veut une précision convenable. - Plusieurs points essentiels sont à préciser : a) Comment déterminer le potentiel V(r) du cristal dû à l'interaction des noyaux et des électrons et des électrons entre eux. b) Quelles sont les fonctions d'essai qui seront choisies pour traduire le principe variationnel. c) Comment résoudre pratiquement un déterminant de degré pouvant atteindre cent. Nous nous sommes proposé d'étudier les points (b) et (c) et avons adopté le plan suivant : Au chapitre I, nous avons rappelé les propriétés mathématiques des groupes finis nécessaires par la suite ; en particulier nous avons insisté sur la notion essentielle de représentation d'un groupe. Au chapitre II, nous n'avons pas abordé directement le problème quantique car il nous a paru intéressant de considérer classiquement les petites vibrations moléculaires. Cette étude aboutit à la résolution d'une équation séculaire qui se factorise si l'on tient compte du groupe de symétrie associé à la molécule. Cette partie fait appel à des notions intuitives et les propriétés établies se transposent simplement en mécanique quantique. Le chapitre III donne les principes fondamentaux sur lesquels s'appuie la méthode variationnelle en mécanique quantique. Au chapitre IV, nous abordons la recherche des bandes énergétiques d'un cristal et nous exposons la méthode d'approximation dite méthode des ondes planes orthogonales dont la convergence est acceptable. Enfin, au chapitre V nous montrons comment les considérations de symétrie permettent comme au chapitre II la résolution de l'équation séculaire à laquelle aboutit la méthode utilisant les ondes planes orthogonales.