Les méthodes covariantes de mécanique analytique en théorie générale des champs, linéaires ou non

Résumé
On part d'un lagrangien scalaire quelconque, qui dépend des champs, fonctions, en général complexes, des points de l'espace-temps. Dans la première Partie du travail, ces fonctions ont la variance tensorielle, tandis que dans la seconde, elles ont la variance spinorielle. L'emploi de la notation de Van der Waerden permet d'ailleurs de faire calquer la théorie, relative aux champs spinoriels, sur celle, relative aux champs tensoriels. Comme les champs complexes peuvent jouer le rôle des champs des corpuscules chargés, nous introduisons d'une manière habituelle, le champ dit extérieur ou d'interaction. Ceci nous conduit à étudier l'invariance de jauge et de phase et à définir un vecteur conservatif : « la densité de charge et de courant ». Le fait d'envisager une fonction lagrangienne quelconque, qui n'est pas nécessairement bilinéaire en champs, nous oblige à faire la distinction, comme en théorie non linéaire de Born du champ électromagnétique, entre les champs primaires qui figurent dans le lagrangien, et les champs secondaires, dits de polarisation. Les équations d'Euler-Lagrange ne font intervenir que les champs de polarisation, mais il est possible d'intervertir les rôles, joués par les champs primaire et secondaire, grâce à l'emploi d'un lagrangien réciproque. La poursuite conséquente des méthodes de Mécanique analytique nous conduit à introduire un hamiltonien scalaire, ce qui permet de donner aux équations canoniques une forme particulièrement simple. Mais le tenseur d'énergie du champ est également étudié. Il permet aussi de faire revêtir aux équations du champ la forme canonique du champ, mais d'une manière relativement compliquée. Nous ramenons également l'étude des équations du champ à celle d'une équation aux dérivées partielles du type de Hamilton-Jacobi, où figure une divergence d'une fonction à variance vectorielle. Nous sommes amené d'ailleurs à la même équation, en considérant les transformations canoniques. Ainsi, toutes les méthodes traditionnelles de la Mécanique analytique, peuvent être introduites d'une manière absolument covariante, en théorie, en général non linéaire, des champs complexes, de variance tensorielle ou spinorielle.